Zerojudge f084：斯坦的函數範圍(提示)

Zerojudge f084：斯坦的函數範圍

題目大意：$f(x)=C_1x^n + C_2x^{n-1} +……+ C_nx + C_{n+1}，C_k$ 代表係數，$1≤i≤n+1$，$a_i≤f(i)≤b_i$，求 $f(n+2)$ 範圍? ($A≤f(n+2)≤B$)

解法：單看整個題目感覺有點難，不如可以從小的開始找規律。

當 $n=1$ 時，$a_1≤f(1)≤b_1$，$a_2≤f(2)≤b_2$ $f(1)=C_1+C_2$，$f(2)=2C_1+C_2$，$f(3)=3C_1+C_2$ 要拿 $f(1)$ 和 $f(2)$ 湊到 $f(3)$，有的人可能會想先求 $C_1$ 跟 $C_2$ 的範圍，但是不可以，因為在 $f(1)$ 跟 $f(2)$ 的 $C_1,C_2$ 範圍不同，直接加起來可能會不合其中一個情況，這時我們可以設 $f(3)=αf(1)+βf(2)$，可以把 $f(1)$ 跟 $f(2)$ 分開，就會同時符合兩個

聯立方程式：
$α+2β=3$
$α+β=1$
$→$
$α=-1,β=2$
$A,B$ 最後加總，如果是負的，記得要換一邊加

當$n=2$ 時， 
$α+4β+9γ=16$
$α+2β+3γ=4$ 
$α+β+γ=1$
$→$
$α=1,β=-3,γ=3$

當$n=3$ 時，
$α+8β+27γ+64δ=125$
$α+4β+9γ+16δ=25$
$α+2β+3γ+4δ=5$
$α+β+γ+δ=1$
$→$
$α=-1,β=4,γ=-6,δ=4$

當 $n=4$ 時，
$α+16β+81γ+256δ+625ε=1296$
$α+8β+27γ+64δ+125ε=216$
$α+4β+9γ+16δ+25ε=36$
$α+2β+3γ+4δ+5ε=6$
$α+β+γ+δ+ε=1$
$→$
$α=1,β=-5,γ=10,δ=-10,ε=5$

從 $n=1\sim 4$

$-1,2$
$1,-3,3$
$-1,4,-6,4$
$1,-5,10,-10,5$
看出規律了嗎?